我有一个 L 张量列表(ndarray 对象)，每个张量都有几个索引。我需要根据连接图来收缩这些指数。
连接以 ((m,i),(n,j)) 形式编码在元组列表中，表示“收缩第 i 个索引张量 L[m] 与张量 L[n] 的第 j 索引。
如何处理非平凡的连接图？第一个问题是，一旦我收缩一对索引，结果就是一个不属于列表 L 的新张量。但即使我解决了这个问题(例如，通过为所有张量的所有索引提供唯一标识符)，也存在一个问题，即人们可以选择任何顺序来执行收缩，并且某些选择会在中间计算中产生不必要的巨大野兽(即使最终结果很小)。有什么建议吗？
请您参考如下方法:
抛开内存方面的考虑，我相信您可以在对 einsum 的一次调用中完成收缩，尽管您需要进行一些预处理。我不完全确定你所说的“当我收缩一对索引时，结果是一个不属于列表 L 的新张量”是什么意思，但是我认为一步完成收缩就能完全解决这个问题。
我建议使用替代的、数字索引的语法 einsum :
einsum(op0, sublist0, op1, sublist1, ..., [sublistout])
所以您需要做的是对索引进行编码，以在整数序列中收缩。首先，您需要最初设置一系列唯一索引，并保留另一个副本用作 sublistout。然后，迭代您的连接图，您需要在必要时将收缩索引设置为相同的索引，同时从 sublistout 中删除收缩索引。
import numpy as np
def contract_all(tensors,conns):
'''
Contract the tensors inside the list tensors
according to the connectivities in conns
Example input:
tensors = [np.random.rand(2,3),np.random.rand(3,4,5),np.random.rand(3,4)]
conns = [((0,1),(2,0)), ((1,1),(2,1))]
returned shape in this case is (2,3,5)
'''
ndims = [t.ndim for t in tensors]
totdims = sum(ndims)
dims0 = np.arange(totdims)
# keep track of sublistout throughout
sublistout = set(dims0.tolist())
# cut up the index array according to tensors
# (throw away empty list at the end)
inds = np.split(dims0,np.cumsum(ndims))[:-1]
# we also need to convert to a list, otherwise einsum chokes
inds = [ind.tolist() for ind in inds]
# if there were no contractions, we'd call
# np.einsum(*zip(tensors,inds),sublistout)
# instead we need to loop over the connectivity graph
# and manipulate the indices
for (m,i),(n,j) in conns:
# tensors[m][i] contracted with tensors[n][j]
# remove the old indices from sublistout which is a set
sublistout -= {inds[m][i],inds[n][j]}
# contract the indices
inds[n][j] = inds[m][i]
# zip and flatten the tensors and indices
args = [subarg for arg in zip(tensors,inds) for subarg in arg]
# assuming there are no multiple contractions, we're done here
return np.einsum(*args,sublistout)
一个简单的例子:
>>> tensors = [np.random.rand(2,3), np.random.rand(4,3)]
>>> conns = [((0,1),(1,1))]
>>> contract_all(tensors,conns)
array([[ 1.51970003, 1.06482209, 1.61478989, 1.86329518],
[ 1.16334367, 0.60125945, 1.00275992, 1.43578448]])
>>> np.einsum('ij,kj',tensors[0],tensors[1])
array([[ 1.51970003, 1.06482209, 1.61478989, 1.86329518],
[ 1.16334367, 0.60125945, 1.00275992, 1.43578448]])
如果有多个收缩，循环中的物流会变得有点复杂，因为我们需要处理所有重复项。然而，逻辑是相同的。此外，上述内容显然缺少确保相应索引可以收缩的检查。
事后看来，我意识到不必指定默认的 sublistout，einsum 无论如何都会使用该顺序。我决定将该变量保留在代码中，因为万一我们需要一个重要的输出索引顺序，我们必须适本地处理该变量，它可能会派上用场。
至于收缩顺序的优化，您可以在 np.einsum 1.12 版中实现内部优化(正如@hpaulj 在现已删除的评论中指出的那样)。此版本向 np.einsum 引入了 optimize 可选关键字参数，允许选择以内存为代价减少计算时间的收缩顺序。传递 'greedy' 或 'optimal' 作为 optimize 关键字将使 numpy 选择一个收缩顺序，大致按照维度大小的递减顺序。
可用于 optimize 关键字的选项来自显然未记录的(就在线文档而言；help() 幸运地工作)函数 np.einsum_path :
einsum_path(subscripts, *operands, optimize='greedy')
Evaluates the lowest cost contraction order for an einsum expression by
considering the creation of intermediate arrays.
np.einsum_path 的输出收缩路径也可以用作np.einsum 的optimize 参数的输入。在您的问题中，您担心使用的内存过多，因此我怀疑默认情况下没有优化(运行时间可能更长，内存占用量更小)。
